性理大全彭氏曰黄钟律管有周有径有面幂有空围内积有从长如史记论纵长律历志论纵长及积东汉郑氏注月令论幂东汉蔡氏月令章句论纵长皆不易之论独周径之说汉以前俱无明文汉律历志开端未竟东汉蔡氏始创为径三分之说晋孟氏以后诸儒续为径三分围九分之说宋胡氏蔡氏又为径三分四厘六毫围十分三厘八毫之说然考之古方围周径幂积皆未有合尝依东汉蔡氏所言径三分以宻率乘除止得空围内面幂七分七厘竒乃少一分九十二厘竒空围内积实止得六百三十六分竒乃少一百七十三分竒如此则黄钟之管无乃太狭盖黄钟空积忽防若径内差一忽即面幂及积所差忽数至多此东汉蔡氏之说所以不合也晋孟氏诸儒言径三分围九分用径一围三之法虽是古率然以宻率推之径一则围三有竒假如径七则围当二十有二今依孟氏所言径三分则围长当九分四厘二毫一秒强不但止于九分也若依九分围长之数则径当止有二分八厘六毫二秒六忽强又不及三分也此晋孟氏诸儒之说所以不合也宋胡氏不主径三围九之说大意疑其管狭耳然所言径三分四厘六豪围十分三厘八毫亦用径一围三之率若依所言三分四厘六毫径当得围十分八厘七毫六秒二忽强不但止于十分三厘八毫也若依十分三厘八毫围则径止得三分三厘竒又不及三分四厘六毫也此宋胡氏之说所以不合也宋蔡氏说径围分数与胡氏同至于算法用圆田术三分益一得一十二开方除之求径又以径相乘以管长乘之用三分益一四分退一之法求幂积今姑依其说以九方分平置又三分益一以三方分割置于九方分之外其积十二方分其纵横可得三分四厘六毫强不尽二毫八丝四忽如蔡氏之说但依此径以宻率相乘则空围内面幂不但止得九方分乃得九方分零四十厘六十毫五十七秒十四忽竒空围内积实不但止得八百一十分乃得八百四十六分五百四十五厘一百四十二秒六百忽竒如此则黄钟之管无乃太大细考之方内之圆所占者不止四分三圆外之方所当退者又不及四分一以所知三分益一四分退一乃算家大约之法此宋蔡氏之说所以又不能尽合也今欲求黄钟的实定数取此管九寸寸作十分分作十厘厘作十毫毫作十秒秒作十忽以合天地五位终于十之数乃以十乘八十一得八百一十分以八百一十分配九十分管知此管长九十分空围中容八百一十分即十分管长空围中容九十分一分管长空围中容九分乃以此管面空围中所容九分以平方幂面推之知一分有百厘厘有百毫毫有百秒秒有百忽积而计之九平方分通有面幂九万万忽依宻率乘除得圆周长十分六厘三毫六秒八忽万分忽之六千三百一十二又以圆周求径计三分三厘八毫四秒四忽万分忽之五千六百四十五又以半径半周相乘仍得九万万忽内一忽弱通得面幂九平方分也既以周径相乘复得面幂如此则黄钟之广与长及空围内积实皆可计矣故面幂计九方分深一分管则空围内当有九立方分深九十分管计九十则空围内当有八百一十立方分此即黄钟一管之实其数与天地造化无不相合此算法所以成也算法既成之后或以竹或以铜别为之依其长作九十分乃取九十分之分计三分三厘八毫四秒四忽万分忽之五千六百四十五以合孔径如此则围长面幂与夫空围内积自然无不吻合特径数自入毫以下非可细分而算法积忽与秒不容不然耳
李氏光地古乐经传曰彭氏之算庶几得之秒忽之下有不尽之分则亦无形之可纪也盖方体之积十四则内容之圆其积十一故知益一退一之法为古人疏率以积求周者置积为实以八十八乘之以七除之平方开之以周求径者置周为实以径法七因之以周法二十二除之以周径求积者置周折半为实以径折半为法乘之此彭氏之说也若以积求径则置积为实以十四乘之以十一除之平方开之以径求周则置径为实以周法二十二乘之以径法七除之其所得之数亦皆符防
律吕正义定黄钟纵长体积面幂周径篇律吕新书黄钟长九寸空围九分【言圆面积九方分也】积八百一十分夫有纵长有体积则面幂围径自可得而考矣汉蔡邕晋孟康吴韦昭皆主径三围九以今所定比例四率法求之得面幂六分七十五厘【平方定位法百厘成分百分成寸故曰几十几分几十几厘】以长九十分乘之得体积六百零七分五百厘【立方定位法千厘成分千分成寸故曰几百几十几分几百几十几厘】比之八百一十分母乃太少宋胡瑗蔡元定主径三分四厘六毫用定率求之得面幂九分三十九厘三十九毫以长九十分乘之得体积八百四十五分四百五十一厘比之八百一十分则又过之惟刘宋祖冲之宻率求得径三分三厘八毫四丝四忽面幂八分九十九厘九十七毫有竒其数为近但其法以周率二十二四之犹用圆田术三分益一起算故小余犹未宻耳夫执一说而不参互相求则于理有遗参互相求而不用宻法比例则于数有遗今置黄钟古尺积八百一十分以九十分归之得面幂九方分用比例四率相求表内面线相等面积不同定数为比例以圆面积一十万为一率方面积一十二万七千三百二十四为二率今面幂九方分为三率推得四率一十一分四十五厘九十毫为圆面幂经线相等正方面积以开平方得三分三厘八毫五丝一忽乃黄钟古尺之径数也求周则以周径相求定数为比例以径一百一十三为一率周三百五十五为二率今径三分三厘八毫五丝一忽为三率推得四率十分零六厘三毫四丝六忽为黄钟古尺之内周数也较以时尺则黄钟古尺之积比今尺之积即古尺自乘再乘之数比今尺自乘再乘之数【因体积相比故用自乘再乘】以古尺一百分自乘再乘得一百万分为一率今尺八十一分自乘再乘得五十三万一千四百四十一分为二率黄钟古尺积八百一十分为三率推得四率四百三十分四百六十七厘二百一十毫乃黄钟今尺之积也如求面幂则以今尺长七寸二分九厘归之得面幂五分九十厘四十九毫如法求径得二分七厘四豪一丝九忽是为黄钟今尺之径数若以古尺之径数如法比例以推今尺之径数或以今尺之径数如法比例以推古尺之径数皆彼此协合夫以纵长体积面幂周径古尺今尺参互相求莫不环转符契而无毫厘之差始为立法之宻而于理数无遗也【呉氏鼐曰黄钟长九寸空围九分则郑蔡孟韦之说是也长九十分容千二百黍汉志之说而宋史宗之也积八百一十分亦汉志之说而蔡氏宗之也以空围九分为九方分者则胡安定之说也径三三八五周一零六三则正义之说是也驳径三围九则温公是也聚古人算律之言参差不一者断案精凿则彭氏也合古今尺比例而得黄钟真度者正义也此义明而诸家疑似之说可剖而断也】
蕙田案以上黄钟纵长体积面幂周径
汉志八百一十分黄钟之实也三百六十分林钟之实也六百四十分太簇之实也
孟康曰黄钟长九寸围九分林钟长六寸围六分太簇长八寸围八分
蔡邕月令章句曰黄钟之管长九寸其余皆稍短惟大小围径无増减
隋志曰汉志云黄钟围九分林钟围六分太簇围八分续志及郑康成并云十二律空皆径三分围九分后魏安丰王依班固志林钟空围六分及太簇空围八分作律吹之不合黄钟商征之声皆空围九分乃与均钟合开皇九年牛辛彦之郑译何妥等参考古律制黄钟之管俱径三分其九寸度有损益故容黍不同
范镇曰黄钟长九寸三分损一为林钟长六寸律皆围九分黄钟积实得八百一十分三分损一林钟得五百四十分十二律皆如此
律吕新书东都之乱乐律散亡邕之时未乱当亲见之孟康时汉斛虽存而律不存康云黄钟林钟太簇围径各异无足怪又曰胡安定见仲吕反生不及黄钟之数乃迁就林钟以下诸律围径以就黄钟清声以夷则南吕为径三分围九分无射为径二分八厘围八分四厘应钟为径二分六厘五毫围七分九厘五毫【范蜀公曰胡先生律围十分三厘八毫者八九分者一八分四厘者一九厘五毫者一皆非是】夫律以空围之同故其长短之异可以定声之髙下令其律之空围如此则亦不成律矣
律吕正义律吕之见于史志者其说不一有主同径者有主不同径者夫惟径之同乃得其长短之异而声字之清浊赖之以辨使径不同而长短又异则成同形十二律吕皆如一黄钟矣故同径之说乃十二律吕之定论也
吴氏鼎曰礼记月令郑注曰凡律空围九分孔疏曰诸律虽长短有差其围皆以九分为限案此十二律围径无异之明文也汉志言黄钟八百一十分繇此之义起十二律之周径顾陈垿释之曰知律虽十二周径一也是也律吕新书论胡瑗围径不同之失及明韩邦竒志乐曰十二管随其长短而减其空围则于八百一十分十七万之数戾矣邢云路律考曰如孟康所云则应钟长四寸六分围四分六厘径止得一分五厘一分五厘之管涉于太细何以施吹何以成声以上三说足以正围径不同之非矣
蕙田案以上十二律围径
附以黍定尺不同
【汉书律厯志一黍之广度之九十分黄钟之长一为一分】
【隋志一黍之广度之九十黍为黄钟之长一黍为一分】
【魏志永平中太乐祭酒公孙崇以一黍之长累为寸法太常卿刘芳受诏修乐以秬黍中者一黍之广即为一分而中尉元匡以一黍之广度黍二缝以取一分三家纷竞乆不能决太和十九年髙祖诏以一黍之广用成分体九十黍之长以定铜尺有司奏芳尺同髙祖所制芳遂典修金石】
【宋史志景祐中阮逸胡瑗取上党秬黍中者累度求尺制黄钟之律马端临曰胡瑗以横黍累尺管容黍千二百】
蕙田案此横黍起分与汉志一黍之广广字合
【魏书志永平中太乐祭酒公孙崇更造新尺以一黍之长累为寸法】
【宋史志景祐中邓保信制尺用上党秬黍圆者一黍之长累而成尺律管一据尺裁九十黍之长空径三分空围九分容秬黍千二百遂用黍长为分再累成尺翰林学士丁度议曰保信黍尺以长为分虽合后魏公孙崇所说然当时已不施用况保信今尺以圆黍累之及首尾相衔与实龠之黍再累成尺不同不可用诏罢之景德中潞州上秬黍李照等择大黍纵累之检考长短尺与太府尺合法乃定范镇曰照以纵黍累尺空径三分容黍千七百三十太长不合古法朱载堉曰黄钟九寸纵黍九分之寸】
蕙田案此以纵黍累尺与古不合
【古乐经传古称秬黍中者中非不大不小之谓乃不长不短之谓盖圆而无纵横者也今欲以黍参定律者须择圆者为是】
蕙田案圆黍起分即与横黍同矣
【魏志中尉元匡以黍之广度黍二缝以取一分朱载堉曰斜黍者非纵非横而首尾相衔也】
蕙田案此以斜黍起分
【朱载堉曰上党秬黍佳者纵累八十一枚斜累九十枚横累百枚皆与大泉九枚合】
蕙田案朱氏法当以横累九十枚斜累八十一枚与横黍法相近
【国朝防要曰古者黄钟为万事根本故尺量权衡皆起于黄钟至晋隋间累黍为尺而以制律容受卒不能合及平陈得古乐遂用之唐兴因声以制乐其器虽无法而其声犹不失于古五代之乱大乐沦散王朴始用尺定律而声与器皆失之故太祖患其声髙特减一律至是又减半律然太常乐比唐之声犹髙五律比今燕乐髙三律帝虽勤劳于制作而未得其当者有司失之于以尺而生律也河南程氏曰黄钟之声亦不难定世自有知音者将上下声考之既得正便将黍以实其管看管实得几粒然后推而定法可也古法律管当实千二百粒黍今羊头黍不相应则将数等验之看如何大小者方应其数然后为正昔胡先生定乐取羊头山黍用三等筛子筛之取中等者特未定也又曰以律管定尺乃是以天地之气为凖非秬黍之比也秬黍积数在先王时唯此适与度量合故可用今时则不同】